Question

已知

2

是2ⁿ与2^m的等比中项，其中m，n＞0，则

1

m

+

1

n

的最小值是

4

．

Answer 1

分析：先根据等比中项的定义求出m与n的等量关系即m+n=1，又

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

），展开后利用基本不等式可求最小值．

解答：解：∵

2

是2ⁿ与2^m的等比中项，
∴2ⁿ•2^m=（

2

）²即2^a+b=2即m+n=1，

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2

n m × m n

=4
当且仅当m=n时取等号
故

1

m

+

1

n

的最小值为4
故答案为：4

点评：本题主要考查了等比数列的性质，以及利用基本不等式求解最值，解题的关键是要对所求的式子进行配凑成符合基本不等式的条件即是进行了1的代换，属于基础题．