题目内容
15．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ | B． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ |
分析 由题意求出SA=AC=SB=BC=2$\sqrt{2}$，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O，A，B的平面与SC垂直，求出三角形OAB的面积，即可求出棱锥S-ABC的体积．
解答 
解：如图由题意△ASC，△BSC均为等腰直角三角形，则SA=AC=SB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴∠SOA=∠SOB=90°，∴SC⊥平面ABO．
又AB=2，△ABO为正三角形，则S△ABO=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×22=$\sqrt{3}$，
进而可得：V S-ABC=V C-AOB+V S-AOB=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×4$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．
点评 本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，得出SC⊥平面ABO是本题的解题关键，且用了体积分割法．
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5．
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如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则该双曲线离心率e的取值范围为（ ）| A． | $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$ | B． | $[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$ | C． | $[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$ | D． | $[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$ |