Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆的左、右焦点，过点F₁作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若|AB|=3，求椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线l的方程为x=y-c，由，得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，由得，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由=a=3，知b²=3，由此能求出椭圆标准方程．
解答：解：（1）直线l的方程为x=y-c，
由，
消去x得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则①，
②，
又由，
得③，
由①②得，
∴a²+b²=2c²，a²=3b²，
∴2a²=3c²，
∴．
（2）
=，
∴b²=3
∴椭圆标准方程为．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．