Question

如图，在△ABO中，

OC

=

1

4

OA

，

OD

=

1

2

OB

，AD交BC于M，设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
①用

a

、

b

表示

OM

；
②在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设

OE

=λ

OA

，

OF

=μ

OB

．
求证：

1

7λ

+

3

7μ

=1．

Answer 1

分析：①分析题设中的条件，B、M、C三点共线，A、M、D三点共线故可由共线的条件建立方程，从中解出用

a

、

b

表示

OM

的向量表达式；
②由于要证的是一个等式，故要从题设条件中寻求等量关系，分析题意，E、M、F三点共线，B、M、C三点共线，A、M、D三点共线故仍需要由向量共线的条件得出建立起两个参数λ，μ的方程整理出要证明的等式．

解答：解：①∵B、M、C三点共线
∴存在x∈R，使

OM

=x

OB

+(1-x)

OC

=x

b

+(1-x)•

1

4

a

=2x•

b

2

+

1-x

4

•

a

（3分）
而A、M、D三点共线，由共线的条件得2x+

1-x

4

=1⇒x=

3

7

即

OM

=

1

7

a

+

3

7

b

（6分）
②证明：∵E、M、F三点共线
∴存在x∈R，使

OM

 =x

OE

 +(1-x)

OF

=xλ

a

+(1-x)•μ

b

=4xλ•

a

4

+(1-x)•μ

b

=xλ

a

+2(1-x)μ•

b

2

（9分）
而B、M、C三点共线，A、M、D三点共线
∴

4xλ+(1-x)μ=1 xλ+2(1-x)μ=1

⇒

3

7μ

+

1

7λ

=1（12分）

点评：本题考查平面向量综合题，解题的关键是理解并能根据点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，证明结论，本题考查了转化的思想与推理论证的能力