Question

14．已知椭圆方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1，a₁，a₂，…，a₉是该椭圆的过焦点的其中9条弦的长度，若数列a₁，a₂，…，a₉是等差数列，则数列a₁，a₂，…，a₉的公差的最大值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由椭圆方程可得a，b，c，再由椭圆的性质可得与x轴垂直的弦最短，长轴最长，求得最小值和最大值，然后由等差数列的通项公式可得最大的公差．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的a=5，b=3，c=4，
∴由椭圆的性质可得与x轴垂直的弦最短，长轴最长，
即有最短长为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{18}{5}$，最长为2a=10，
故公差最大为d=$\frac{{a}_{9}-{a}_{1}}{9-1}$=$\frac{10-\frac{18}{5}}{8}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查等差数列的通项和公差的求法，考查运算能力，属于中档题．