Question

如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）最大值，最小值

（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：．
解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，，∴ ．       …………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为 ．                           …………4分
（Ⅱ），
圆过点O、，
圆心M在直线上．
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
（Ⅲ）由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由   得 
，方程有两个不等的实数根．
设，.
,  ………………………………11分




= 
 
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值