Question

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：
①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；建立适当的空间直角坐标系，
（ I）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可能取所给数据中的哪些值？请说明理由；
（ II）在满足（ I）的条件下，若a取所给数据的最小值时，这样的点Q有几个？若沿BC方向依次记为Q₁，Q₂，…，试求二面角Q₁-PA-Q₂的大小．

Answer 1

分析：（ I）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，设出点Q的坐标，进而得到向量PQ，QD的坐标，再结合PQ⊥QD即可求出结论；
（ II） 由（Ⅰ）知a=

3

2

，此时x=

1

2

或x=

3

2

，即满足条件的点Q有两个；再结合PA⊥平面ABCD即可得到∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答：解：（ I）建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
设Q（a，x，0）（0≤x≤2），…（2分）
∵

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，
∴由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)．
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]…（4分）
∴在所给数据中，a可取a=

3

2

和a=1两个值．…（6分）
（ II）  由（Ⅰ）知a=

3

2

，此时x=

1

2

或x=

3

2

，即满足条件的点Q有两个，…（8分）
根据题意，其坐标为Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)，…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．…（10分）
由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 •AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，
得∠Q₁AQ₂=30°，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小为30°．…（12分）

点评：本题主要考察直线与平面所成的角．解决本题第一问的关键在于结合二次函数的性质得到a可取a=

3

2

和a=1两个值．