题目内容

已知向量
a
=（sinx，-1），
b
=（
3
cosx，-
1
2
），函数f（x）=（
a
+
b
）•
a
-2
（1）求函数f（x）的最小正周期T及单调减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2
3
，c=4，且f（A）=1．求A，b和△ABC的面积．
分析：（1）由已知利用向量的运算及数量积即可得到(
a
+
b
)•
a
，进而得到f（x），利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数f（x）的最小正周期T及单调减区间；
（2）利用（1）即可得到A，再利用正弦定理即可得到C，利用三角形内角和定理即可得到B，利用直角三角形含30°角的性质即可得出边b，进而得到三角形的面积S=
1
2
ab．
解答：解析：（1）∵
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)，
∴（
a
+
b
）•
a
=(sinx+
3
cosx，-
3
2
)•（sinx，-1）
=sin2x+
3
sinxcosx+
3
2

=
1-cos2x
2
+
3
sin2x
2
+
3
2

=sin(2x-
π
6
)+2，
∴f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2=sin(2x-
π
6
)．
∴T=
2π
2
=π．
由
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
≤
3π
2
+2kπ，
解得kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
(k∈Z)．
∴单调递减区间是[kπ+
π
3
，kπ+
5π
6
](k∈Z)．
（2）∵f（A）=1，∴sin(2A-
π
6
)=1，
∵A为锐角，∴2A-
π
6
=
π
2
，解得A=
π
3
；
由正弦定理得
a
sinA
=
c
sinC
，
∴sinC=
4×sin
π
3
4
3
=sinC=
4sin
π
3
2
3
=1，C∈（0，π），∴C=
π
2
．
∴B=π-A-C=
π
6
，∴b=
1
2
c=2．
∴S△ABC=
1
2
×2×2
3
=2
3
．
点评：本题综合考查了向量的运算及数量积运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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