题目内容

已知a,b＞0,a+b=1,求证:≤3b+3a＜4.

证明:3a+3b=3a+31-a≥=,当且仅当a=b=时取等号.

要证3a+3b＜4,只要证3a+31-a＜4,

即证＜0,

也就是证32a-4·3a+3＜0,

于是证(3a-1)(3a-3)＜0,

那么证1＜3a＜3.

最后必须验证0＜a＜1,这是明摆的事实.

∴≤3a+3b＜4.

练习册系列答案
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本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，请考生任选2题作答．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若M=
-1a
b3
所对应的变换TM把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程：
x=t
y=1+2t
（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)．
①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
②判断直线l和圆C的位置关系．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．
4、已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；  ②若 a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；   ④若α∥b，β∥b，则α∥β．
正确命题的个数是（　　）
已知
a
=（sinθ，cosθ）、
b
=（
3
，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若f（θ）=|
a
+
b
|，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a、b、c，且a=f（0），b=f（-
π
6
），c=f（
π
3
），求
AB
•
AC
．
（2013•泉州模拟）已知a＜b，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有
③
③
．（填上所有错误步骤的序号）
∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①
∴2a-2b＜b+a-2b，即2（a-b）＜a-b，…②
∴2（a-b）•（a-b）＜（a-b）•（a-b），即2（a-b）2＜（a-b）2，…③
∵（a-b）2＞0，∴可证得 2＜1．…④
（2012•德州一模）已知
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，定义
a
?
b
=mn-pq，下列等式中
①
a
?
a
=0；②
a
?
b
=
b
?
a
；③(
a
+
b
)?
a
=
a
?
a
+
b
?
a
；④(
a
?
b
)2+(
a
•
b
)2=（m2+q2）（n2+p2）
一定成立的是
①④
①④
．（填上序号即可）

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