题目内容

（2012•德州一模）已知
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，定义
a
?
b
=mn-pq，下列等式中
①
a
?
a
=0；②
a
?
b
=
b
?
a
；③(
a
+
b
)?
a
=
a
?
a
+
b
?
a
；④(
a
?
b
)2+(
a
•
b
)2=（m2+q2）（n2+p2）
一定成立的是
①④
①④
．（填上序号即可）
分析：由
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，定义
a
?
b
=mn-pq，知：
a
•
a
=mn-mn=0；
a
?
b
=mn-pq，
b
?
a
=pq-mn；(
a
+
b
)?
a
=（m+p，n+q）?（m，n）=（m+p）•（n+q）-mn，
b
?
a
=pq-mn；(
a
?
b
)2+(
a
•
b
)2=（mn-pq）2-（mp-nq）2=（m2+q2）（n2+p2）．
解答：解：∵
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，定义
a
?
b
=mn-pq，
∴
a
•
a
=mn-mn=0，故①成立；
a
?
b
=mn-pq，
b
?
a
=pq-mn，故②不成立；
(
a
+
b
)?
a
=（m+p，n+q）?（m，n）=（m+p）•（n+q）-mn，
b
?
a
=pq-mn，故③不成立；
(
a
?
b
)2+(
a
•
b
)2=（mn-pq）2-（mp-nq）2=（m2+q2）（n2+p2），故④成立．
故答案为：①④．
点评：本题考查平面向量的数量积的性质及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意定义的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
（2012•德州一模）定义运算
.
ab
cd
.
=ad-bc，函数f(x)=
.
x-12
-xx+3
.
图象的顶点是（m，n），且k、m、n、r成等差数列，则k+r=
-9
-9
．
（2012•德州一模）若a=log20.9，b=3-
1
3
，c=(
1
3
)
1
2
则（　　）
（2012•德州一模）已知
x+y-5≤0
y≥x
x≥1
，则z=2x+3y的最大值为（　　）
（2012•德州一模）对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
（1）若m∥α，m⊥n，则n⊥α
（2）若m⊥α，m⊥n，则n∥α
（3）若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ
（4）若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
其中真命题的个数是（　　）
（2012•德州一模）已知函数f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，△ABC的面积等于3，求边长a的值．

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