Question

【题目】已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】分析：第一问先将函数的解析式确定，接着写出函数的定义域，之后对函数求导，对a进行讨论，确定导数的符号，从而求得函数的单调区间，第二问假设存在，之后将其转化为最值问题，借用导数研究函数的图像的走向，从而确定函数的最值，最后求得结果.

详解：（1）由已知得，的定义域为，

则，

①当时，，，，所以，

所以函数在上单调递减；

②当时，令，得或，

（i）当（），即时，所以（），

所以函数在上单调递增；

（ii）当，即时，在和上函数，在上函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

（iii）当，即时，在和上函数，在上函数，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

（2）若对任意恒成立，则，

记，只需．

又，

记，则，

所以在上单调递减．

又，，

所以存在唯一，使得，即，

当时，，，的变化情况如下：

		极大值

所以，

又因为，所以，

所以，

因为，所以，所以，

又，所以，

因为，即，且，故的最小整数值为3，

所以存在最小整数，使得对任意恒成立．