Question

【题目】设函数，已知不单调，且其导函数存在唯一零点.

（1）求的取值范围；

（2）若集合，，求证：.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】

（1）由题意得有唯一零点，且在零点两侧的符号相反. ，

.对a分类讨论，分析函数的单调性从而得到的取值范围；

（2）由（1）知，设，即.则在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴的值域为，即.

要使，只需

（1）由题意得有唯一零点，且在零点两侧的符号相反.

，.

①当时，，故在区间上单调递增，又时，，

故在区间上存在唯一零点且在零点两侧的符号相反.

②当时，，得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

若，则存在唯一零点，但在零点两侧都为负，不合题意；

若，则恒成立，此时无零点，不合题意；

若，又时，，时，，此时有两个零点，不合题意.

综上所述，的取值范围是.

（2）由（1）知，设，即.

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴的值域为，即.

要使，只需，即，

也就是.

又，故，即.

又在区间上单调递增函数，

∴要证 只要证，即.

而，故结论得证.