Question

已知z₁，z₂为复数，（3+i）z₁为实数，z2=

z1

2+i

且|z2|=5

2

，则z₂=

±（5-5i）

．

Answer 1

分析：设出复数z₁，根据复数是一个实数，得到实部和虚部之间的关系，根据z₂的关系，得到复数的表示形式，再根据复数的模长求出结果．

解答：解：设z₁=a+bi，
∵（3+i）z₁为实数，
∴（3+i）（a+bi）=3a-b+（a+3b）i
∴a+3b=0，
∴z₁=a+bi=-3b+bi
∵z2=

z1

2+i

=

-3b+bi

2+i

=

(-3b+bi)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

-5b+5bi

5

=-b+bi
∵|z2|=5

2

，
∴

2b2

=5

2

，
∴b=±5，
∴z₂=±（5-5i）
故答案为：±（5-5i）

点评：本题考查复数的求法，考查复数的混合运算和模长的公式，本题解题的关键是看出两个复数之间的关系，本题是一个中档题目．