Question

4．袋中装有4个黑球和3个白球，现在甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，每次一人只取1球，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．
（1）求甲第一次取球就取到白球的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“甲第一次取到白球”的事件为A，则P（A）=P（ξ=1），由此能求出甲第一次取球就取到白球的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出取球次数ξ的概率分布和数学期望．分）

解答 解：（Ⅰ）设“甲第一次取到白球”的事件为A，则P（A）=P（ξ=1）．
因为事件“ξ=1”表示“甲第一次取球就取到白球”，
所以P（A）=P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$．（4分）
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5．（6分）
P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$；
P（ξ=2）=$\frac{4×3}{7×6}$=$\frac{2}{7}$；
P（ξ=3）=$\frac{4×3×3}{7×6×5}$=$\frac{6}{35}$；
P（ξ=4）=$\frac{4×3×2×3}{7×6×5×4}$=$\frac{3}{35}$；
P（ξ=5）=$\frac{4×3×2×1×3}{7×6×5×4×3}$=$\frac{1}{35}$．（10分）
所以取球次数ξ的概率分布如下表所示：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

E（ξ）=1×$\frac{3}{7}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{6}{35}+4×\frac{3}{35}+5×\frac{1}{35}$=2．（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．