Question

小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为

1

2

、

1

3

、

1

6

，现对三只小白鼠注射这种药物．
（I）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；
（II）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数，求ξ的颁布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 三只小白鼠反应互不相同的概率为P=A₃³ •P（A₁B₂C₃）=6×

1

2

×

1

3

×

1

6

=

1

6

．
（Ⅱ） 离散型随机变量 ξ=1，2，3，P(ξ=1)=P(A1B1C1+A2B2C2+A3B3C3)=(

1

2

)3+(

1

3

)3+(

1

6

)3=

1

6

P（ξ=3）=

1

6

，故得 P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

2

3

，从而求得 ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（Ⅰ）用A_i（i=1，2，3）表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，
用B_i（i=1，2，3）表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，
用C_i（i=1，2，3）表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝．
三只小白鼠反应互不相同的概率为P=A₃³P（A₁B₂C₃）=6×

1

2

×

1

3

×

1

6

=

1

6

．
（Ⅱ）P(ξ=1)=P(A1B1C1+A2B2C2+A3B3C3)=(

1

2

)3+(

1

3

)3+(

1

6

)3=

1

6

，可能的取值为 ξ=1，2，3P(ξ=1)=P(A1B1C1+A2B2C2+A3B3C3)=(

1

2

)3+(

1

3

)3+(

1

6

)3=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

6

，故 P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）=1-

1

6

-

1

6

=

2

3

．
所以，ξ的分布列是

ξ	1	2	3
P	1 6	2 3	1 6

所以，Eξ=1×

1

6

+2×

2

3

+3×

1

2

=2．

点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，离散型随机变量的期望和方差，求出随机变量
取每个值的概率，是解题的难点和关键．