题目内容

给定实数a≠0且a≠1,设函数y＝(x∈R,且x≠)，求证：

(1)这个函数的图象自身关于直线y＝x对称；

(2)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x轴．

答案：
解析：

证明：(1)由y＝，得(ay－1)x＝y－1．

若ay－1＝0，则y－1＝0,∴a＝1与已知矛盾．

∴ay－1≠0,∴x＝ (y≠)

故y＝ (x∈R,且x≠)的反函数就是它本身．

∴该函数图象自身关于直线y＝x对称．

(2)设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函数图象上任意两个不同点，且x1≠x2,

则y1－y2＝,

∵x1≠x2,且a≠1，∴y1≠y2．

从而图象上任意两个不同点所在的直线不平行于x轴．


练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
（1）当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）时，函数f（x）的值域为[
1
n
，
1
m
]，证明：
f(m)
f(n)
=
n
m

（2）若b=4，c=-2时，对于给定正实数a有一个最小负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，|f（x）|≤4恒成立，问a为何值时，g（a）最小，并求出这个最小值．
设f（x）是定义在D上的函数，若对D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，则称f（x）为定义在D上的C函数．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否为定义域上的C函数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是R上的奇函数，试证明f（x）不是R上的C函数；
（Ⅲ）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数a∈[0，1]以及D中的任意两数x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），则称f（x）为定义在D 上的π函数．已知f（x）是R上的m函数．m是给定的正整数，设an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，记Sf=a1+a2+…+am．对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．
给定实数a≠0且a≠1,设函数y＝(x∈R,且x≠)，求证：

(1)这个函数的图象自身关于直线y＝x对称；

(2)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x轴．
给定实数a≠0,a≠1,设函数y=(x∈R,且x≠),求证:

(1)经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴；

(2)这个函数的图象关于直线y=x对称.

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