Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
（1）当x=1时有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）时，函数f（x）的值域为[

1

n

，

1

m

]，证明：

f(m)

f(n)

=

n

m

（2）若b=4，c=-2时，对于给定正实数a有一个最小负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，|f（x）|≤4恒成立，问a为何值时，g（a）最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）由x=1时有最大值1，及函数的值域，可知m≥1，从而[m，n]?[1，+∞）因此f（m）=

1

m

，f(n)=

1

n

，故可得证．
（2）f（x）=ax²+4x-2，显然f（0）=-2，当0＜a＜2时，g（a）∈（-

2

a

，0），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，取g(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

2+ 4-2a

，从而有g（a）＞-12．
同理当a≥2时，g（a）≥-3，故可得结论．

解答：解：（1）由条件得：a＜0，

1

m

≤1，即m≥1，
∴[m，n]?[1，+∞）∴f（m）=

1

m

，f(n)=

1

n

，
∴

f(m)

f(n)

=

n

m

（2）f（x）=a（x+

2

a

，显然f（0）=-2，
对称轴x=-

2

a

＜01，当-2-

4

a

＜-4
，即0＜a＜2时，g（a）∈（-

2

a

，0），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，取g(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

2+ 4-2a

∵0＜a＜2∴g（a）＞-12，当-2-

4

a

≥-4，即a≥2，g（a）＜-

2

a

，且f（g（a））=4令ax²+4x-2=4，
解得x=

-2± 4+6a

a

，取g（a）=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

∵a≥2，∴g（a）≥-3，当且仅当a=2时取等号．
综上，当a=2时，g（a）最小值为-3

点评：本题的（1）问利用函数的值域及最大值，避免了讨论，（2）应注意合理的分类，要使g（a）最小，即那个使|f（x）|=4的x最小，越远离原点的负值．