给定实数a≠0,a≠1,设函数y=(x∈R,且x≠),求证:(1)经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴,(2)这个函数的图象关于直线y=x对称. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

给定实数a≠0,a≠1,设函数y=(x∈R,且x≠),求证:

(1)经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴；

(2)这个函数的图象关于直线y=x对称.

试题答案

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思路解析:对于(1),可转化为函数y=的图象与y=t(t∈R且t是常数)的图象交点个数不超过一个;对于(2),可证明函数的反函数与原函数是同一个函数.

证明:(1)本题可转化为函数y=的图象与y=t(x∈R,t是常数)的图象交点个数不超过一个.

令=t,得(at-1)x=t-1.若(at-1)≠0,则只有一个解;

若at-1=0,得t=1.∴a=1=t,与a≠1矛盾.

故经过这个函数图象上任意两点的直线,不平行于x轴.

(2)由y=,得(ay-1)x=(y-1).

若ay-1=0,则y=1,a=1与已知矛盾.

∴ay-1≠0,x=.

∴f^-1 (x)= (x∈R,x≠),

即函数y= (x∈R,x≠)的反函数为其本身.

所以这个函数的图象关于直线y=x对称.

深化升华

(1)一个函数若有反函数,则它的图象与y=t的图象最多有一个交点.

(2)若一个函数图象关于y=x对称,则它的反函数是这个函数本身.

(3)与本题有关的数学思想方法有转化思想和数形结合思想.

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给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y= $数学公式$ （x∈R，且x≠ $数学公式$ ）．
证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
于x轴；
（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．