Question

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B，C的坐标；
（2）若圆M经过A，B且与直线x-y+3=0相切于点P（-3，0），求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）由AC边上的BH所在的直线方程为y=0，即为x轴，根据两直线垂直时满足的关系，得到AC所在直线应为y轴，即x=0，与中线CD所在的直线方程联立组成方程组，求出方程组的解集得到C的坐标，由B在x轴上，设出B的坐标为（b，0），利用中点坐标公式表示出AB的中点坐标，代入中线CD所在直线的方程，求出b的值，确定出B的坐标；
（2）根据垂径定理得到弦AB的垂直平分线过圆心M，根据AB的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出弦AB垂直平分线的斜率，再由AB中点坐标，写出弦AB垂直平分线的方程，又圆M与直线x-y+3=0相切，由切点P以及求出的斜率写出此直线的方程，与弦AB垂直平分线的方程联立组成方程组，求出方程组的解可得出圆心M的坐标，再由A和M的坐标，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆M的半径，由圆心和半径写出圆M的标准方程，化简后即可得到圆M的方程．

解答：解：（1）∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，即为x轴，
∴直线AC的方程为y轴，即为直线x=0，又直线CD：2x-2y-1=0，
联立得：

x=0 2x-2y-1=0

，解得：

x=0 y=- 1 2

，
∴C(0，-

1

2

)，
设B（b，0），又A（0，1），
∴AB的中点D(

b

2

，

1

2

)，
把D坐标代入方程2x-2y-1=0得：b-1-1=0，解得：b=2，
∴B（2，0）；（4分）
（2）由A（0，1），B（2，0）可得：
线段AB中点坐标为（1，

1

2

），k_AB=

1-0

0-2

=-

1

2

，
∴弦AB垂直平分线的斜率为2，
则圆M的弦AB的中垂线方程为y-

1

2

=2（x-1），即4x-2y-3=0，①
又圆M与x-y+3=0相切，切点为（-3，0），且x-y+3=0的斜率为1，
∴圆心所在直线方程的斜率为-1，
则圆心所在直线为y-0=-（x+3），即y+x+3=0，②
联立①②，解得：

x=- 1 2 y=- 5 2

，
∴M(-

1

2

，-

5

2

)，（8分）
∴半径|MA|=

1 4 + 49 4

=

50

2

，
所以所求圆方程为（x+

1

2

）²+（y+

5

2

）²=

50

4

，即x²+y²+x+5y-6=0．  （12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，切线的性质，垂径定理，以及圆的标准方程，是一道综合性较强的常考题．