Question

（2012•石家庄一模）若实数X满足log₃x=sinθ+cosθ，其中θ∈[-

1

2

π，0]，则函数f（x）=|2x-1|+x的值域为（　　）

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．[

  2

  3

  ，8]
• C．[

  2

  3

  ，2]
• D．[

  1

  2

  ，8]

Answer 1

分析：由X满足log₃x=sinθ+cosθ，所以x=3^sinθ+cosθ=3

2

sin(θ+

π

4

)，又θ∈[-

1

2

π，0]，所以-

π

4

≤θ+

π

4

≤

π

4

，所以

1

3

≤x≤3，又f（x）的表达式可化为f（x）=

3x-1  ，当x∈[ 1 2 ，3]时 -x+1  ，当x∈[ 1 3 ， 1 2 )时

据此可求出函数f（x）=|2x-1|+x的值域．

解答：解：∵log₃x=sinθ+cosθ，∴x=3^sinθ+cosθ=3

2

sin(θ+

π

4

)，
又∵θ∈[-

1

2

π，0]，∴-

π

4

≤θ+

π

4

≤

π

4

，
∴-

2

2

≤sin(θ+

π

4

)≤

2

2

，即-1≤

2

sin(θ+

π

4

)≤1，
∴

1

3

≤x≤3．
因此f（x）的表达式可化为
f（x）=

3x-1  ，当x∈[ 1 2 ，3]时 -x+1  ，当x∈[ 1 3 ， 1 2 )时

①当x∈[

1

3

，

1

2

)时，

1

2

＜-x+1≤

2

3

，即

1

2

＜f(x)≤

2

3

；
②当x∈[

1

2

，3]时，

1

2

≤3x-1≤8，即

1

2

≤f(x)≤8．
因此，函数f（x）=|2x-1|+x的值域是[

1

2

，8]．
故选D．

点评：此题考查了对数式化为指数式、指数函数的单调性、三角函数式的化简、三角函数的单调性及值域、含有绝对值类型的函数的值域．熟练掌握上述有关知识及方法是解决此问题的关键．此题还用到了分类讨论的方法去掉绝对值．