Question

19．已知f（x）=x（x-a）．
（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值-3，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-lnx有零点，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）分情况讨论f（x）在[0，1]上的单调性，令f_min（x）=-3，求出a的值；
（2）令g（x）=0解出a=x-$\frac{lnx}{x}$，求出右边函数的最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-ax=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∵当x∈[0，1]时，f（x）有最小值-3，
∴①当$\frac{a}{2}$≤0即a≤0时，f_min（x）=f（0）=0，不符合题意；
②当0＜$\frac{a}{2}$≤1即0＜a≤2时，f_min（x）=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$=-3，
∴a=2$\sqrt{3}$，不符合题意；
③当$\frac{a}{2}$＞1即a＞2时，f_min（x）=f（1）=1-a=-3，
∴a=4．
综上，a=4．
（2）g（x）=x²-ax-lnx，x＞0．
令g（x）=0，则a=x-$\frac{lnx}{x}$，
令h（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$．
∴当x=1时，h′（x）=0，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
当x＞1时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
∴h_min（x）=h（1）=1．
∵函数g（x）=f（x）-lnx有零点，
∴a的最小值是1．

点评 本题考查了二次函数的单调性，函数的最小值，是中档题．