Question

（2012•湖北模拟）已知正实数x，y，记m为x和

y

x2+y2

中较小者，则m的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：利用均值不等式进行放缩

y

x2+y2

≤

y

2xy

=

1

2x

，我们可以讨论x与

1

2x

的大小，根据m为x和

y

x2+y2

中较小者，求出m的范围；

解答：解：∵正实数x，y，记m为x和

y

x2+y2

中较小者，又

y

x2+y2

≤

y

2xy

=

1

2x

，
若x≥

1

2x

，即x≥

2

2

可得m_min=

1

2x

，可得m≤

1

2× 2 2

=

2

2

，
∴m的最大值为

2

2

，
若x≤

1

2x

，即x≤

2

2

可得m_min=x≤

2

2

，
∴m的最大值为

2

2

，
综上m的最大值为

2

2

；
故答案为

2

2

；

点评：此题主要考查基本不等式的性质及其应用，解题过程中用到了分类讨论的思想，这也是高考常用的解题思想，本题注意理解m的含义；