Question

已知数列{a_n}中，a₁＝，a_n+1＝sin(a_n)(n∈N^*)．

(Ⅰ)证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；

(Ⅱ)已知a_n≥，证明：a_n+1－a_n＞；

(Ⅲ)设T_n是数列{a_n}的前n项和，判断T_n与n－3的大小，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①时，， 　　故结论成立．　　1分 　　②假设时结论成立，即． 　　∴，即． 　　也就是说时，结论也成立． 　　由①②可知，对一切均有．　　4分 　　(2)要证，即证，其中． 　　令，． 　　由，得．　　6分 　　又，． 　　∴当，，∴． 　　∴，即．　　9分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知： 　　．　　11分 　　∴． 　　∴，而， 　　即．∴　　12分