题目内容

已知椭圆C的方程为 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0），离心率e= $数学公式$ ，上焦点到直线y= $数学公式$ 的距离为 $数学公式$ ，直线l与y轴交于一点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B且 $数学公式$ =t $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 $数学公式$ +t $数学公式$ =4 $数学公式$ ，求m的取值范围•

解：（1）∵椭圆离心率e= $\text{[math]}$ ，焦点到直线y= $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴a=1，c= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）∵ $\text{[math]}$ =t $\text{[math]}$ ，∴（1+t） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +t $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ +t $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，∴1+t=4，∴t=3
设直线l与椭圆交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0①，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，∴-x₁=3x₂，∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3 $\text{[math]}$
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴3（ $\text{[math]}$ ）²+4× $\text{[math]}$ =0
∴4k²m²+2m²-k²-2=0
$\text{[math]}$ 时，上述式子不成立， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∵t=3，∴k≠0，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
经检验符合①式
即所求m的取值范围为（-1，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）根据椭圆离心率e= $\text{[math]}$ ，焦点到直线y= $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）先确定t=3，再将直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式关系，从而可得 $\text{[math]}$ ，由此可求m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．