题目内容

【题目】已知二次函数（，为常数，且）满足条件：，且方程有两相等实根.

（1）求的解析式；

（2）设命题 “函数在上有零点”，命题 “函数在上单调递增”；若命题“”为真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据方程有两相等实根得到，根据得到对称轴，从而得到，得到的解析式；

（2）由，得到的范围，从而得到的范围，根据在上有零点，得到的范围，若真，先得到分段函数的解析式，根据其在上单调递增，得到的不等式组，得到的范围，再根据“”为真命题，得到的取值范围.

（1）∵方程有两等根，即有两等根，

，解得；

，得，

是函数图象的对称轴.

而此函数图象的对称轴是直线，∴，，

故

（2），由得

若真，即函数在上有零点，

则的图像与有交点，

所以得到；

由，可得

；

若真，即在上单调递增，

则，

；

若真，则.

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