Question

已知椭圆C的焦点为F₁（）和 F₂（），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．
求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）弦AB的中点坐标及弦长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆C的焦点为F₁（）和 F₂（），长轴长为6，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段的中点为M（x，y），由，得10x²+36x+27=0，故，，由此能求出弦AB的中点坐标及弦长．
解答：解：（1）∵椭圆C的焦点为F₁（）和 F₂（），长轴长为6，
∴椭圆的焦点在x轴上，c=2，a=3，∴b=1，
∴椭圆C的标准方程
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB线段的中点为M（x，y）
由，消去y，得10x²+36x+27=0，
∴，，
∴，∵，
∴弦AB的中点坐标为（，），

=
=．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦AB的中点坐标及弦长．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．