Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点；过点与直线平行的直线为， 与曲线相交于两点.

（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）将点坐标代入直线的极坐标方程，求得的值，展开后可将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用点到直线的距离公式求出的表达式，利用三角函数辅助角公式可求得距离的最小值.（2）利用点的坐标和斜率可求得的方程，写出的参数方程，代入曲线的普通方程，化简后写出韦达定理，利用弦长公式可求得的值.

试题解析：

（1）因为，且，所以，即

所以直线的极坐标方程为

所以

即直线的直角坐标方程为

设曲线上的点到直线距离为，则

所以曲线上的点到直线距离的最小值为

（2）设的方程为，由于过点，所以，所以的方程为

故的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为

所以，即有

所以

所以