Question

已知函数
（1）求函数在上的最大值与最小值；
（2）若时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，

Answer 1

（1）;（2）;(3)证明见解析．

试题分析：（1）由知当时，，当时，，可得函数的最值．(2)当时，函数的图象恒直线的上方，等价于时，不等式恒成立，即恒成立．令,由可得的取值，从而得的取值；（3）由（2）知当时，，，则，即，令取1，2…可得不等式，累加可得．
解：（1）定义域为，且，
当时，，
当时，,
在为为减函数；在上为增函数，

 ．
(2)当时，函数的图象恒直线的上方，等价于时，不等式恒成立，即恒成立，令，则当时，，故在  上递增，所以时，，故满足条件的实数取值范围是．
（3）证明：由（2）知当时，     
令，则，化简得      

  

即