Question

如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

试题分析：因为直线AB、AC、两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

（1）向量分别为直线A1B与C1D的方向向量，求出的坐标，由空间两向量夹角公式可得向量夹角的余弦值；

（2）设平面的法向量为，

又，根据法向量定义求出平面的一个法向量，因为平面，取平面的一个法向量为，先求出与夹角的余弦值，又平面ADC1与平面ABA1夹角与与夹角相等或互补。

试题解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

，，

，

异面直线与所成角的余弦值为。

（2）设平面的法向量为，

，

，即且，

令，则，是平面的一个法向量，

取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角的大小为，由，

得，故平面与平面夹角的正弦值为。

考点：（1）空间向量的坐标运算；（2）直线方向向量、平面法向量的求法；（3）利用空间向量求线面角、面面角；