Question

设F₁、F₂分别是椭圆+y²=1的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积的取值范围；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，，设P（x，y），则=x²+y²-3=．由此能够求出向量乘积的取值范围．
（2）设直线l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立，得：，由韦达定理和根的判别式知：或k，又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?＞0，由此能求出直线l的斜率k的取值范围．
（3）由题设|BO|=1，|AO|=2．设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=，由此能求出S的最大值．
解答：解：（1）根据题意易知，所以，
设P（x，y），则
=x²+y²-3
=
=．
故-2．
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立，消去y，整理得：，
∴，
由，
得：或k，
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?＞0，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=．
∵，
即k²＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得，或．
（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=
=≤=2，
当x₂=2y₂时，上式取等号．所以S的最大值为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．