Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=1，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若AE=2-

3

，求二面角D₁-EC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D₁E⊥A₁D．
（2）求出平面DEC的法向量和平面ECD的法向量，由此能求出二面角D-EC-D的大小．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=x（0≤x≤1），
则D₁（0，0，1），E（1，x，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1），

A1D

=（-1，0，-1），
∴

D1E

•

A1D

=-1+0+1=0，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）解：设平面DEC的法向量

n

=(a，b，c)，
二面角D-EC-D的大小为θ，
∵AE=2-

3

，∴E(1，2-

3

，0)，
∴

CE

=(1，-

3

，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

D D   1

=(0，0，1)，
由

n • D1C =0 n • CE =0

⇒

2b-c=0 a- 3 b=0.

令b=1，∴c=2，a=

3

，∴

n

=(

3

，1，2)．
又平面ECD的法向量

DD1

=（0，0，1），
依题意cosθ=

| n • DD1 |

| n |•| DD1 |

=

2

2

，
θ=

π

4

，即二面角D-EC-D的大小为

π

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．