Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=2a_n-3n对于任意的正整数都成立，推出S_n+1=2a_n+1-3（n+1），推出a_n+1+3=2（a_n+3），构造新数列{b_n}是等比数列．求出b_n，然后求{a_n}的通项公式．
（2）通过（1）的结果，推出数列{na_n}的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-3n对于任意的正整数都成立，
∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1）
两式相减，得S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
即a_n+1=2a_n+3
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
即bn=

an+1+3

an+3

=2对一切正整数都成立．
∴数列{b_n}是等比数列．
由已知得 S₁=2a₁-3即a₁=2a₁-3，
∴a₁=3
∴数列{b_n}的首项b₁=a₁+3=6，公比q=2，
∴bn=6•2n-1
∴an=6•2n-1-3=3•2n-3
（2）∵nan=3n•2n-3n，
∴Sn=3(1•2+2•22+3•23+…+ n•2n) -3(1+2+3+…+n)，
2Sn=3(1•22+2•23+3•24+…+ n•2n+1) -6(1+2+3+…+n)，
两式相减得-Sn=3(2+22+23+…+2n)-3n•2n+1+3(1+2+3+…+n)
=3•

2(2n-1)

2-1

-6n•2n+

3n(n+1)

2

，
Sn=(6n-6)•2n -

3n(n+1)

2

+6．

点评：本题考查数列通项公式的求法，前n项和的求法--错位相减法分应用，考查转化思想，计算能力．