Question

已知α、β都是锐角，且=cos(α+β)．

(Ⅰ)求证：tanβ=;

(Ⅱ)当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：由已知得：

sinβ=sinαcos(α+β)=sinαcosβ-sin²αsinβ，

∴tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ．

∴tanβ=，

即tanβ=.

(Ⅱ)解：∵α是锐角，    ∴tanα＞0

由(Ⅰ)知：tanβ=,

∴,

当且仅当=2tanα时，等号成立，

即tanα=时，tanβ取最大值.

此时，tan(α+β)=．