Question

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则 的最小值是 ，利用两个向量的数量积的定义求出 的值，即为所求．
解答：解：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-2-5sinθ）²+（y-5cosθ）²=1，
圆心M（2+5sinθ，5cosθ），半径等于1．
∵|CM|==5＞2+1，故两圆相离．
∵=•cos∠EPF，要使  最小，需  最小，且cos∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H、G两点，则 的最小值是 ．
|H C|=|CM|-1=5-1=4，|H E|===2 ，sin∠CHE==，
∴cos∠EHF=cos2∠MHE=1-2sin²∠MHE=，
∴=|H E|•|H E|•cos∠EHF=2 ×2 ×=6，
故答案为：6．
点评：本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量的数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现了数形结合的数学思想，判断 的最小值是 ，是解题的关键．考查分析解决问题的能力和运算能力，属难题．