Question

已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）试用函数单调性定义说明函数在区间和上的增减性；
（3）若满足：，试证明：．

Answer 1

（1）偶函数，（2）在上是减函数，在上是增函数（3）详见解析.

试题分析：（1）判定函数奇偶性，首先判定函数定义域是否关于原点对称，然后再判断与的相等或相反关系.本题定义域为一切实数，关于原点对称.函数为分段函数，需分类讨论. 当时，，.当时，，.故为偶函数.（2）利用定义研究函数单调性，需注重作差后的变形，关键是提取公因式，进行因式分解，以便判断符号.（3）由于是同区间的两个任意数，所以只需证，从而本题实质为求函数最值.由函数奇偶性及单调性知：
，所以成立.
试题解析：解：（1）∵当时，，∴
∴       2分
∵当时，，∴
∴      4分
∴对都有，故为偶函数           5分
（2）当时，
设且，则     7分
∴当时，即
当时，即        9分
∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数   11分
（3）由（2）可知，当时：
若，则即
若，则即
∴当时，有                                   12分
又由（1）可知为偶函数，∴当时，有      13分
∴若，时，则，          14分
∴，即          15分