Question

如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点.记CD＝x，V(x)表示四棱锥F－ABCD的体积.

(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值.

Answer 1

(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，

∴FA＝2，BD＝(0<x<2)，

∴S_□ABCD＝CD·BD＝x，

∴V(x)＝S_□ABCD·FA＝x(0<x<2).

(2)方法一：要使V(x)取得最大值，只需x＝(0<x<2)取得最大值，

∵x²(4－x²)≤()²＝4，

∴V(x)≤×2＝.

当且仅当x²＝4－x²，即x＝时等号成立.

故V(x)的最大值为.

方法二：V(x)＝x＝

＝.

∵0<x<2，∴0<x²<4，∴当x²＝2，即x＝时，V(x)取得最大值，且V(x)_max＝.