Question

选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）在曲线C₁：

x=acosφ y=sinφ

，（a＞0，φ为参数）上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：ρ=acosθ
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程
（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ2，θ+

π

2

），若点M，N都在曲线C₁上，求

1

ρ 21

+

1

ρ 22

的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵点A（2，0）在曲线C₁上，∴

2=acosφ 0=sinφ

，
∵a＞0，∴a=2，∴ρ=2cosθ．
由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，得（x-1）²+y²=1．
所以曲线C₂的普通方程为（x-1）²+y²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线C₁：

x=2cosφ y=sinφ

的普通方程为

x2

4

+y2=1．
由题意得点M，N的直角坐标分别为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），(ρ2cos(θ+

π

2

)，ρ2sin(θ+

π

2

))．
∵点M，N在曲线C₁上，
∴

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1，

ρ22sin2θ

4

+ρ22cos2θ=1．
∴

1

ρ 21

+

1

ρ 22

=(

cos2θ

4

+sin2θ)+(

sin2θ

4

+cos2θ)=

5

4

．