题目内容
已知函数f（x）=x3-2x2-4x-7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是
；②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足
其中假命题的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】分析：由f（x）=x3-2x2-4x-7，知f′（x）=3x2-4x-4，令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x
，x2=2．列表讨论，知①错误，②正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正确；由f（x）=x3-2x2-4x-7，知函数f（x）不满足
，故④不正确．
解答：解：∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴f′（x）=3x2-4x-4，
令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x
，x2=2．
列表讨论
∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞），
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-（3a2-4a-4）（x-a）
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴函数f（x）不满足
，
故④不正确，
故选C．
点评：本题考查函数的单调区间、极值的求法，考查不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．
，x2=2．列表讨论，知①错误，②正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正确；由f（x）=x3-2x2-4x-7，知函数f（x）不满足，故④不正确．解答：解：∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴f′（x）=3x2-4x-4，
令f′（x）=3x2-4x-4=0，得x
，x2=2．列表讨论
| x | （-∞，- ） | - | （- ，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↓ | ↓ | 极小值 | ↑ |
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x3-2x2-4x-a3+2a2+4a-（3a2-4a-4）（x-a）
=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x3-2x2-4x-7，
∴函数f（x）不满足
，故④不正确，
故选C．
点评：本题考查函数的单调区间、极值的求法，考查不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|