题目内容
已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影
（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的内心；
（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的垂心．
其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都写上）
（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC外心；
（2）若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的内心；
（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的内心；
（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的外心；
（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的垂心．
其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都写上）
对于（1），如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC，
由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心，
∴命题（1）正确；
对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，
∴命题（2）不正确．
对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，
∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心，
∴命题（3）正确；
对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确．
对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
∴命题（5）正确；
故答案为：（1）（3）（5）．
若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC，
由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心，
∴命题（1）正确；
对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，
∴命题（2）不正确．
对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，
∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心，
∴命题（3）正确；
对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确．
对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
∴命题（5）正确；
故答案为：（1）（3）（5）．
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