Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，，点E是棱AB上一点．且．

（1）证明：；
（2）若二面角D₁—EC—D的大小为，求的值．

Answer 1

（1）详见解析;（2）－1．

解析试题分析：（1）根据题意显然以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系．此时不妨设AD =AA₁＝1，AB＝2，则本表示出图中各点坐标，这里主要是要运用向量的知识表示出点E的坐标，这样就可表示出和的坐标，利用向量垂直的充要条件：它们的数量积等于0，问题即可得证;（2）运用求平面法向量的知识分别求出：平面DEC的法向量为n₁＝(0，0，1);平面D₁CE的法向量为，利用向量夹角知识可得： ，可解得±－1．利用E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1．
试题解析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AD =AA₁＝1，AB＝2，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，
C(0，2，0)，A₁(1，0，1)，B₁(1，2，1)，C₁(0，2，1)，D₁(0，0，1)．
因为＝λ，所以，于是(－1，0，－1)．
所以．
故D₁EA₁D．                                                          5分
（2）因为D₁D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量为n₁＝(0，0，1)．
又，(0，－2，1)．
设平面D₁CE的法向量为n₂＝(x，y，z)，
则n₂·，n₂·，
所以向量n₂的一个解为．
因为二面角D₁—EC—D的大小为，则．
解得±－1．
又因E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1．               10分
考点：1.向量的数量积的应用;2.平面的法向量;3.空位位置关系