Question

已知经过点（，） 的双曲线C： （a>0，b>0）的离心率为2。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在经过点（0，-1）的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B，且线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P、Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意有：，且c² =a²+b² 
所以a²=1，b²=3 
双曲线 的方程为                    
（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线 l不存在。
②若直线l 的斜率为0 ，则线段AB 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在。
③若直线 l的斜率为± ，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线 l不存在。
④若直线 l的斜率存在，且不为 0不为± 时设为k ，则直线l 的方程为y=kx-1
 设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 得（3-k²）x+2kx-4=0  
△=4k²+16（3-k²）>0-2<k<2
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=    
∴线段AB 的中点为（，） 
∴线段AB 的垂直平分线 
∴P（，0）Q（0，）       
∴ 线段PQ 的中点为（，） 
若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以
 
解得k²=-1 ，这矛盾
综上，不存在满足条件的直线