Question

已知经过点A（-2，0），且以（λ，1+λ）为方向向量的直线l₁与经过点B（2，0），且以（1+λ，-3λ）为方向向量的直线l₂相交于点P，其中λ∈R．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足|BM|=|BN|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对λ进行讨论，即可求点P的轨迹C的方程；
（2）假设存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足|BM|=|BN|，求出线段MN的中点M₀的坐标，利用M₀在椭圆C的内部，在直线l上，即可求得结论．

解答：解：（1）当λ≠0且λ≠-1时，直线l₁：y=

1+λ

λ

(x+2)，直线l₂：y=

-3λ

1+λ

(x-2)
消参可得

x2

4

+

y2

12

=1①
当λ=0时，直线l₁：x=-2，直线l₂：y=0，其交点为（-2，0），适合①；
当λ=-1时，直线l₁：y=0，直线l₂：x=2，其交点为（2，0），适合①；
∴点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

12

=1；
（2）假设存在直线l：y=kx+m（m≠0）与轨迹C相交于不同的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且满足|BM|=|BN|．
令线段MN的中点M₀（x₀，y₀），则BM₀垂直平分MN
∵

x12

4

+

y12

12

=1，

x22

4

+

y22

12

=1，
∴两式相减可得，kMN=-

3x0

y0

=k②
∵BM₀⊥MN，∴kBM0=

y0

x0-2

=-

1

k

③
由②③可得x0=-1，y0=

3

k

∴M₀（-1，

3

k

）
∵M₀在椭圆C的内部，故

1

4

+

9

12k2

＜1
∴|k|＞1
∵M₀（-1，

3

k

）在直线l上，
∴

3

k

=-k+m，
∴|m|=|k+

3

k

|≥2

3

，当且仅当|k|=

3

时取等号
∴存在直线l满足条件，此时m的取值范围为（-∞，-2

3

）∪（2

3

，+∞）．

点评：本题考查轨迹方程，考查存在性问题的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．