Question

已知经过点(

2

，

3

)的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在经过（0，-1）的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B，且线段AB的垂直平分线分别交x轴，y轴与点P、Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意有：

c

a

=2，

2

a2

-

3

b2

=1，且c²=a²+b²，由此能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）①若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线C没有交点，故满足条件的直线l不存在．②若直线l的斜率为0，则线段AB为y轴平行；不满足条件，直线l不存在．③若直线l的斜率为±

3

，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故满足条件的直线l不存在．④若直线l的斜率存在，且不为0不为±

3

时设为k，则直线l的方程为y=kx-1．设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

y=kx-1 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x+2kx-4=0，由△=4k²+16（3-k²）＞0，得-2＜k＜2．由此能导出不存在满足条件的直线．

解答：解：（Ⅰ）依题意有：

c

a

=2，

2

a2

-

3

b2

=1，
且c²=a²+b²，所以a²=1，b²=3，
双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）①若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线C没有交点，故满足条件的直线l不存在．
②若直线l的斜率为0，则线段AB为y轴平行；不满足条件，直线l不存在．
③若直线l的斜率为±

3

，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故满足条件的直线l不存在．
④若直线l的斜率存在，且不为0不为±

3

时设为k，
则直线l的方程为y=kx-1…（6分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 x2- y2 3 =1

，
得（3-k²）x+2kx-4=0，
△=4k²+16（3-k²）＞0，
∴-2＜k＜2…（7分）
∴x1+x2=

2k

k2-3

y1+y2=

6

k2-3

∴线段AB的中点为(

k

k2-3

，

3

k2-3

)
∴线段AB的垂直平分线y-

3

k2-3

=-

1

k

(x-

k

k2-3

)
∴P(

4k

k2-3

，0)Q(0，

4

k2-3

)
∴线段PQ的中点为(

2k

k2-3

，

2

k2-3

)
若四边形APBQ为菱形，则线段PQ的中点在直线l上，
所以

2

k2-3

=k•

2k

k2-3

-1，
解得k²=-1，这矛盾．…（11分）
综上，不存在满足条件的直线．…（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．