Question

已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S_n，S_k=2550．
（Ⅰ）求a及k的值；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设该等差数列为{a_n}，由题设条件可知首项a₁=2，公差d=2．由此可以求得a=2，k=50．
（Ⅱ）由Sn=n•a1+

n(n-1)

2

•d，得S_n=n（n+1），

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

n+1

，由此求得求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)的值．

解答：解：（Ⅰ）设该等差数列为{a_n}，
则a₁=a，a₂=4，a₃=3a，S_k=2550．
由已知有a+3a=2×4，
解得首项a₁=a=2，
公差d=a₂-a₁=2．
代入公式S_k=k•a₁+

k(k-1)

2

•d
得k•2+

k(k-1)

2

•2=2550
∴k²+k-2550=0
解得k=50，k=-51（舍去）
∴a=2，k=50；

（Ⅱ）由Sn=n•a1+

n(n-1)

2

•d
得S_n=n（n+1），

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1．

点评：本题考查数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．