Question

已知函数在（0，+∞）上的最小值是（n∈N_+））．

（1）．求数列｛｝的通项公式．

（2）．证明：<．

（3）．在点列…….中是否存在两点A_i ,A_j 其中i, j∈N₊ ．，使直线A_iA_j的斜率为1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）．由f (x)=2n－x，得 =……………1分．

令 =0，得x=……………………2分．

当x∈(0 , )．时， <0．当x∈ (,+∞)时， >0．

∴f (x )在0，+∞．上有极小值f ( ) =．

∴数列｛an｝的通项公式an=…………………………………5分．

（2）．∵………………………6分．．

∴=

………………8分．

（3）．依题意，设Ai2i , ai．，Aj2j , aj．其中i, j∈N+ ．是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=

……………………9分．

=1……………………11分．

∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1……………………12分．．