Question

函数f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)零点的个数是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：函数f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)的零点即log2x-3sin(

π

2

x)=0的根，设h（x）=3sin（

π

2

x），g（x）=log₂x，在同一坐标系内作出g（x）和h（x）的图象，通过讨论h（x、g（x）的单调性与最值，得它们有且仅有3个交点，由此可得原函数零点的个数．

解答：解：函数f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)的零点即
方程log2x-3sin(

π

2

x)=0的根，由此可得
设h（x）=3sin（

π

2

x），g（x）=log₂x，
在同一坐标系内作出g（x）和h（x）的图象
函数g（x）=log₂x是对数函数，因为2＞1，所以图象为经过点（1，0）的增函数的曲线
而h（x）=3sin（

π

2

x）的周期为T=

2π

π 2

=4，在原点的右侧它的第一个最大值点为x=1，对应图中A（1，3），第二个最大值点为x=5，对应图中B（5，3）
∵log₂5＜3，
∴曲线g（x）=log₂x经过点B的下方，在B的左右各有一个交点
当x≤8时，log₂x≤3，两个函数图象有3个交点；
而当x＞8时，h（x）=3sin（

π

2

x）≤3＜g（x）=log₂x，两图象不可能有交点
∴h（x）=3sin（

π

2

x）与g（x）=log₂x的图象有且仅有3个不同的交点，得函数f(x)=log2x-3sin(

π

2

x)的零点有3个
故答案为：B

点评：本题给出含有三角函数和对数的函数，求函数的零点的个数，着重考查了基本初等函数的单调性、最值和函数零点的求法等知识，属于中档题．