Question

7．函数f（x）=ax²-x+lnx
（1）当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取到极值，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间[2，3]上有单调递增区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，根据f′（$\frac{1}{2}$）=0，求出a的值即可；（2）问题转化为存在a＞$\frac{x-1}{{2x}^{2}}$在[2，3]恒成立，令h（x）=$\frac{x-1}{{2x}^{2}}$，求出h（x）的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2ax-1+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
∵x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取到极值，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=a-1+2=0，解得：a=-1；
（2）f′（x）=2ax-1+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-x+1}{x}$，（x＞0），
设g（x）=2ax²-x+1
由题意知，在区间[2，3]上存在区间使得不等式g（x）＞0恒成立，
∵x＞0，∴a＞$\frac{x-1}{{2x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{x-1}{{2x}^{2}}$，则h′（x）=$\frac{2-x}{{2x}^{3}}$，
∵2≤x≤3，
∴h′（x）≤0在[2，3]恒成立，
∴h（x）在[2，3]单调递减，
∴h（x）_最小值=h（3）=$\frac{1}{9}$，
∴a＞$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了函数的极值问题，考查函数的单调性、最值问题，导数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维有一定的要求，是一道中档题．