Question

    已知函数

    （1）若有两个不同的极值点，求a的取值范围；

    （2）当时，表示函数上的最大值，求的表达式；

    （3）求证：。

Answer 1

【考点分析】本小题主要考查导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式的证明等基础知识，考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法.

解：（1）（法一）

设，，当时

若，由，易知在时恒成立，无极值点.

若，设的两根为且。

,,故有

		0	-	0	+

∴当时，函数有两个极值点。…………4分

（法二）………1分

设，有两个极值点有两个大于的不等实根，

∴当时，函数有两个极值点。…………4分

（2）当时，由（1）知，

在为减函数，在为增函数，

在上的的最大值为或

 ，设，

，，故，

.

（3）由（2）知在上有最大值，且仅在时取得.取，，则

即

法一：，，…，，.

相加得：

，

 ，

即：

法二：用数学归纳法证明：

当时，易知成立，

假设当时，不等式成立，即成立

时，

=

=

<

  （由归纳假设及，）

∴当不等式也成立，故得证。