Question

平面内有向量=(1,7), =(5,1), =(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.

(1)当·取最小值时,求的坐标；

(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.

Answer 1

解析:(1)设=(x,y),∵Q在直线上,

∴向量与共线.

又=(2,1),∴x-2y=0.∴x=2y.

∴=(2y,y).

又=-=(1-2y,7-y), =-=(5-2y,1-y),

∴·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y²-20y+12=5(y-2)²-8.

故当y=2时, ·有最小值-8,此时=(4,2).

(2)由(1)知=(-3,5), =(1,-1),

·=-8,| |=,||=,

∴cos∠AOB==.

点评:已知两向量的坐标,由平面向量数量积的定义和性质可以求其数量积、两向量的模和它们的夹角,此外求解数量积的有关综合问题,注意利用函数思想、方程思想求解.