Question

平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X为直线OP上的一动点.

(1)当·取最小值时，求OX的坐标；

(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.

Answer 1

解：(1)设=(x,y)，因为点X在直线OP上，所以向量与共线.

又=(2,1)，所以x·1-y·2=0,x=2y.所以=(2y,y).

又且=(1,7)，所以=(1-2y,7-y).

同理，=(5-2y,1-y).

于是有·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)²-8.

所以当y=2时，·=5(y-2)²-8有最小值-8，此时=(4,2).

(2)当=(4,2)，即y=2时，

有=(-3,5),=(1,-1),||=,||=,

·=-3×1+5×(-1)=-8.

所以cos∠AXB==.